Вопросы к экзамену 2 семестр
1. Множества (основные понятия и определения, примеры). Операции над множествами.
2. Числовые множества. Определения и свойства множеств N, Z, Q.
3. Определение и свойства множества R. Числовые промежутки.
4. Модуль действительного числа. Свойства модулей. Окрестность точки.
5. Понятие функции. Способы задания функции. Примеры.
6. Основные свойства функций: четность и нечетность, монотонность, ограниченность, периодичность.
7. Обратная и сложная функции. Примеры.
8. Определение, свойства и графики степенной функции с натуральным показателем.
9. Определение, свойства и графики степенной функции с целым показателем.
10. Определение, свойства и графики степенной функции с дробным показателем.
11. Определение, свойства и графики показательной функции.
12. Определение, свойства и графики логарифмической функции.
13. Тригонометрические функции (свойства и графики).
14. Обратные тригонометрические функции (определения, свойства и графики).
15. Преобразование графиков. Примеры.
16. Определение и свойства числовой последовательности. Примеры.
17. Предел числовой последовательности (определение, геометрический смысл, свойства).
18. Предел функции в точке (определение, геометрический смысл, свойства).
19. Определения и свойства бесконечно малой и бесконечно большой функции.
20. Первый замечательный предел.
21. Второй замечательный предел.
22. Сравнение бесконечно малых. Теорема об эквивалентных бесконечно малых.
23. Непрерывность функции в точке (определения 1 и 2). Свойства функций непрерывных в точке.
24. Односторонние пределы. Точки разрыва и их классификация.
25. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке.
26. Задачи, приводящие к понятию производной.
27. Определение производной. Геометрический и механический смысл производной. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
28. Правила дифференцирования функций.Таблица производных основных элементарных функций. Вывод 2-3 формул по выбору учащегося.
29. Производная неявной функции. Пример.
30. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной.
31. Теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа.
32. Условия возрастания и убывания функции.
33. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Первое и второе достаточные условия экстремума.
34. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
35. Выпуклость функции. Точки перегиба.
36. Асимптоты графика функции.
37. Правило Лопиталя.
38. Определение дифференциала и его геометрический смысл. Свойства дифференциала.
39. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
40. Дифференциалы высших порядков.
Вопросы к экзамену 3 семестр1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла. Свойства неопределённого интеграла.
2. Таблица основных интегралов.
3. Метод непосредственного интегрирования.
4. Метод интегрирования подстановкой.
5. Метод интегрирования по частям.
6. Интегрирование простейших рациональных дробей I и II типов.
7. Интегрирование простейших рациональных дробей III типа.
8. Интегрирование простейших рациональных дробей IV типа.
9. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби.
10. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка.
11. Интегрирование иррациональных функций.
12. Интегрирование дифференциальных биномов.
13. «Неберущиеся» интегралы.
14. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла: о пройденном пути, о площади криволинейной трапеции.
15. Понятие и свойства определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
16. Замена переменной в определённом интеграле.
17. Интегрирование по частям в определённом интеграле.
18. Интегрирование чётных и нечётных функций в симметричных пределах.
19. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования.
20. Интеграл от разрывной функции.
21. Геометрические приложения определённого интеграла.
22. Числовые ряды (основные понятия). Свойства числовых рядов.
23. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд.
24. Признаки сравнения положительных рядов.
25. Признак Даламбера и радикальный признак Коши.
26. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд.
27. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
28. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.
29. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
30. Функциональный ряд. Точки сходимости и расходимости. Область сходимости.
31. Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости.
32. Непрерывность суммы степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенного ряда.
33. Задача разложения функции в степенной ряд. Формула и ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Критерий разложимости функции в степенной ряд.
34. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
35. Применение рядов в приближенных вычислениях.
Вопросы к экзамену 4 семестр1. Функции двух переменных. Основные понятия.
2. Геометрическое изображение функции двух переменных.
3. Предел функции двух переменных.
4. Непрерывность функции двух переменных.
5. Частные производные, их геометрический смысл.
6. Полный дифференциал. Достаточное условие дифференцируемости.
7. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
8. Производная по направлению. Градиент.
9. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции (без доказательства).
10. Частные производные высших порядков. Равенство смешанных производных.
11. Дифференциалы высших порядков.
12. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
13. Экстремум функции двух переменных. Основные понятия.
14. Необходимое условие экстремума.
15. Достаточные условия максимума и минимума для функции двух переменных.
16. Схема исследования функции двух переменных на экстремум.
17. Нахождение наибольших и наименьших значений.
18. Выпуклые функции.
19. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа.
20. Задача об объёме цилиндроида.
21. Определение и свойства двойного интеграла.
22. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием.
23. Замена переменных в двойном интеграле (без доказательства).
24. Двойной интеграл в полярных координатах.
25. Понятие тройного интеграла, его свойства.
26. Вычисление тройного интеграла.
27. Замена переменных в тройном интеграле (без доказательства).
28. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
29. Приложения двойного и тройного интегралов.
30. Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода.
31. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
32. Приложения криволинейного интеграла первого рода.
33. Определение и свойства криволинейного интеграла второго рода.
34. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
35. Приложения криволинейного интеграла второго рода.
Вопросы к экзамену 5 семестр
1. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.
2. Задача Коши. Теорема о существовании решения дифференциального уравнения I порядка. Геометрический смысл.
3. Уравнения с разделяющимися переменными.
4. Однородные дифференциальные уравнения I порядка.
5. Дифференциальные уравнения I порядка, приводящиеся к однородным.
6. Линейные дифференциальные уравнения I порядка. Уравнение Бернуллли.
7. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
8. Дифференциальные уравнения II порядка. Задача Коши.
9. Интегрирование уравнений, допускающих понижение порядка.
10. Линейные однородные уравнения II порядка. Линейно независимые решения. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ.
11. Линейные неоднородные уравнения II порядка. Теорема о структуре общего решения ЛНДУ.
12. Линейные однородные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами.
13. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Нахождение частного решения в случае, когда правая часть уравнения является многочленом.
14. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Нахождение частного решения в случае, когда правая часть уравнения является показательной функцией.
15. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Нахождение частного решения в случае, когда правая часть уравнения является тригонометрическим двучленом.
16. Функции комплексной переменной. Основные понятия.
17. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.
18. Определение, формула и свойства показательной функции комплексной переменной.
19. Определение, формула и свойства логарифмической функции комплексной переменной.
20. Определение, формула и свойства степенной функции комплексной переменной.
21. Определение, формула и свойства тригонометрических функций комплексной переменной.
22. Определение, формула и свойства обратных тригонометрических функций комплексной переменной.
23. Дифференцирование функции комплексной переменной. Условия Эйлера-Даламбера. Правила дифференцирования.
24. Аналитическая функция. Правильные и особые точки. Дифференциал аналитической функции.
25. Определение интеграла функции комплексной переменной. Формула вычисления интеграла через криволинейные интегралы.
26. Основные свойства интеграла функции комплексной переменной.
27. Теорема Коши. Следствие к теореме Коши. Случай многосвязной области.
28. Первообразная и неопределённый интеграл функции комплексной переменной. Формула Ньютона-Лейбница.
29. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши. Следствия к ней.
30. Числовые ряды в комплексной области. Основные определения. Необходимый признак сходимости.
31. Определения и свойства абсолютно сходящихся рядов в комплексной области.
32. Степенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля и следствие к ней. Радиус сходимости.
33. Ряд Тейлора функции комплексной переменной. Формулы разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.
34. Нули аналитической функции.
35. Ряд Лорана. Главная и правильная части ряда Лорана. Формулы для коэффициентов. Область сходимости.
36. Классификация особых точек по разложению функции в ряд Лорана.
37. Поведение аналитической функции в окрестности устранимой особой точки и существенно особой точки.
38. Поведение аналитической функции в окрестности полюса. Теорема о связи между нулём и полюсом функции.
39. Классификация бесконечно удалённых особых точек аналитической функции.
40. Понятие вычета и основная теорема Коши о вычетах.
41. Правила вычисления вычетов функции.
